% Part 4: Comparisons and GSI
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\section{3D-Var、4D-Var 与 FLEXINVERT 的关键差异与联系}
\subsection{控制变量与物理意义}
3D-Var 中的控制变量描述瞬时大气状态，分析结果用于初始化数值预报。FLEXINVERT 的状态向量代表时间-空间平均的地表通量，目标是满足观测网络对净通量的整体约束。

\subsection{时间处理方式}
3D-Var 在短时间窗口内（通常数小时）循环执行，背景场来自上一次预报步。FLEXINVERT 在数天至数月的窗口内聚合观测，考虑输送延迟与累积效应，输出长期约束的通量估计。

\subsection{背景信息来源}
3D-Var 的背景由数值天气预报模式积分产生，可结合静态与集合误差协方差以体现流场依赖。FLEXINVERT 则依赖外部排放清单、生态模型或气候态作为先验通量，必要时引入对数正态约束确保非负性。

\subsection{观测与误差建模}
3D-Var 直接 assimilate 大气状态观测，观测误差矩阵主要包含仪器误差与代表性误差。FLEXINVERT 的观测为大气浓度，输送算子传递通量信息，$R$ 需额外考虑输送模型与栅格聚合带来的不确定性。

\subsection{数值实现共性}
两种框架共享贝叶斯最优估计的数学结构，均可写出相同的解析解 $x_a = x_b + B H^T (H B H^T + R)^{-1}(y - H x_b)$。FLEXINVERT 的 $\chi$ 空间、共轭梯度求解器和协方差建模直接借鉴了 3D-Var 文献中的成熟技术。

\section{实现案例对比：GSI 与 FLEXINVERT}

GSI (Gridpoint Statistical Interpolation) 系统代表业务化数值天气预报中 3D-Var 的最先进实现，而 FLEXINVERT 则专注于地表通量反演。两者虽然同属贝叶斯框架，但在矩阵构造、误差建模和数值求解策略上存在显著差异：

\textbf{关键差异概要}：
\begin{itemize}
\item \textbf{问题规模}：GSI 处理全球大气状态($\sim 10^7$ 变量)，FLEXINVERT 处理区域地表通量($\sim 10^4$--$10^6$ 变量)
\item \textbf{更新频率}：GSI 每 3--6 小时更新一次，FLEXINVERT 处理周--月时间窗口
\item \textbf{矩阵 B 构造}：GSI 采用递归滤波器和 NMC/集合方法，FLEXINVERT 使用本征值分解与指数相关
\item \textbf{矩阵 R 构造}：GSI 针对 29 种观测类型调优，FLEXINVERT 主要考虑输送模型不确定性
\item \textbf{矩阵 H 构造}：GSI 为每种观测类型实现专用算子(含伴随)，FLEXINVERT 使用统一的拉格朗日输送算子
\end{itemize}

详细的矩阵构造方法、数学公式和实现细节请参见附录~\ref{app:gsi-matrices}(第~\pageref{app:gsi-matrices}页)。

\section{MCMC 与最优化方法的比较}
\begin{table}[ht]
\centering
\caption{贝叶斯反演方法比较}
\begin{tabular}{lll}
\hline
特性 & 解析解/共轭梯度 & MCMC 采样 \\
\hline
计算成本 & 中等($\mathcal{O}(m^3)$ 或迭代) & 高(需大量样本) \\
后验协方差 & 精确(解析)或近似(Lanczos) & 通过样本估计 \\
非高斯误差 & 不适用 & 可处理 \\
高维适用性 & 需预条件化 & pCN 维度独立 \\
不确定性量化 & 局部(高斯近似) & 完整后验分布 \\
非线性问题 & 需迭代线性化 & 直接采样 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

{\color{red}\textbf{[方法选择指南]：在大气反演中，方法选择取决于问题特性。对于线性高斯问题($m < 10^5$)，解析解或共轭梯度法效率最高，可在数分钟内完成。对于需要完整不确定性量化、非高斯误差或多峰后验的问题，MCMC 是唯一选择，但需数小时至数天计算时间。混合策略：先用优化方法找到后验众数，再用 MCMC 探索其周围的不确定性。}}

